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  2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天, 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。

  除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。然而,对于这个原理,很多人都存在着或多或少的误解,这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里,本文就来一一澄清。

  首先说明一点,在费马原理的表述中,光程和光传播所用的时间是等效的,因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。

百度百科的不靠谱说法

  不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义:光波在两点之间传递时,自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述,只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。

  从A发出的光线,经过平面镜的反射到达B点,这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗?显然不是,从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的,费马原理其实是个局域性的原理,所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值,无论是否是最小,它都是真实存在的光线。

用“极值”表述正确吗

  那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程极小的路径,是不是就正确了呢?其实这仍是一种错误的表述。光程取极小值只是一种常见情形,也存在其他情形。

  首先举一个光程是定值的例子,如下图的椭圆形反射镜。

  从椭圆的一个焦点A出发的光线,经过椭圆形镜子上任意一点的反射,一定会汇聚到另一个焦点B。这是因为椭圆的数学性质保证了这样光线的反射角一定等于入射角。在这个例子当中,任何一条真实光线都不是极小值了,因为不管反射点是椭圆上的哪个点,光程都是定值(是椭圆的定义:到两定点的距离之和为常值的点的轨迹)。

  再举一个光程取极大值的例子,如下图:

  图中A、B是蓝色椭圆的两个焦点,在椭圆内任取一条黑色曲线为镜面。假设椭圆对称轴上的O点为黑色曲线和蓝色椭圆的切点。根据椭圆的性质,我们可以知道过O点的黑色光线确为真实光线。而在镜面上随意选取O’作为反射点形成的红色光线,则比黑色光线光程更短(只要记得椭圆的定义并注意到黑色曲线在椭圆内部即可知道这一点)。然而红色光线却并不满足反射角等于入射角,也就说它并非真实的光线。因此在这个例子中,光选取的路径实际上取了极大值。

什么是最正确的表述

  那如果费马原理表述成:过两个定点的光总走光程为极大值、极小值或者定值的路径,是不是就正确了呢?这是物理专业课本中的表述,但仍然不够准确。仍以上图为例,说黑色光线取了极大值,其实是不准确的。因为只要本该是直线的光线稍微一弯曲,光程就会变得更长,从这个角度来讲,这又是一种极小值了。所以单说它是极大值还是极小值都不够准确。理解这种既极大又极小的函数也很简单,看看双曲抛物面的形状就可以了

  上图的P点,就既是极大值点又是极小值点(也可以说它二者都不是)。而费马原理中的光程,往往和这种情形类似。

  因此如果把以上种种情形都考虑进去的话,费马原理将被叙述得很长。但其实在数学上有一种表述方法既准确又精炼,那就是:过两个定点的光总走光程的一阶变分为零的路径。

  至于什么是变分,可以做如下理解:变分之于泛函,就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数(以函数为自变量的特殊的函数),因为光线的路径本身是函数,而光程又是路径这个函数的函数,因此光程是泛函。所谓一阶变分为零,其实就和一阶导数为零意思相近。这种表述就自动包括了取极小值、极大值、定值、鞍点这些种种情况了。

  最后,为了更加严谨,突出费马原理的充分必要性,其实费马原理的最准确表述应该是:过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。

  费马原理最早由费马在1660年提出,阐述了光沿着所需时间为平稳的路径传播这一重要事实。但现在由于表述的不严谨,让人们对它的理解出现了很多偏差。

  “我发现了一个美妙的证明,但由于空白太小而没有写下来。”——谨以此文纪念伟大的业余数学家之王——皮埃尔 德 费马。

 

 

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channelId 1 1 献给业余数学之王:澄清对费马原理的误解 1 除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。