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  常听人说数学浮于实际——本来嘛,理论不同于实践,需经由依托才能应用于生活。数学研究往往先于时代,社会还没发展出合适的落脚地,很多数学理论生来就成了“遗腹子”,少人疼爱。好在她天然的严谨和逻辑,许多数学定理历经千年依然如是。然后,就在我们最最意想不到的地方与后面赶上来的生产力不期而遇,交汇处生出灿烂的数学之花。

  下文选自英国皇家数学史学会会员 Peter Rowlett 编撰的 The Unplanned Impact of Mathematics 一文,我们编译了3个理论与实际相遇的故事。原文2011年7月14日在《自然》上发表。

四元数:150年后在计算机时代盛开

  1843年10月16日,爱尔兰数学家汉密尔顿爵士(William Hamilton)在散步时,突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1 的方程解,并且创造了形如 a+bi+cj+dk 的四元数(a为标量,[bi + cj + dk]为矢量)。为了捕捉这一思想火花,汉密尔顿爵士顾不得保护文物,将方程刻在了正好经过的布鲁穆桥上。

  这条方程放弃了交换律,是当时一个极端的想法(那时还未发展出矢量和矩阵)。四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表着一个四维空间。汉密尔顿爵士本来正在研究如何把复数应用于三维空间,但桥上的灵光一现,直接把研究扩展到了四维上去。

汉密尔顿于1843年刻在布鲁穆桥上的方程。

  四元数有着漂亮的数学形式,还适用于地理学、力学和光学的研究。之后的时间里,汉密尔顿爵士把大部分精力都用于推广四元数的概念。他死后,接力棒传到了爱丁堡大学自然哲学教授皮特·格恩里·泰特手中。

  著名物理学家威廉·汤姆逊(也称“开尔文男爵”,热力学温标单位开尔文便以他的名字命名)曾说:我和泰特为四元数争了38年。两人合著《自然哲学论》( Treatise on Natural Philosophy )时,曾决定在必要时引入四元数的概念,但从最终手稿来看,“必要的时候”一直不曾出现。

  19世纪末,向量微积分的出现更是抢走了四元数的光芒。在20世纪中叶的科学和工程界中,矢量几乎已完全取代四元数的位置。麦克斯韦曾在他的《电磁场动力理论》直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。

  某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述,但与后来黑维塞使用4条以矢量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较,使用四元数的表述并没有流行起来。人们认为四元数空有漂亮的数学结构,没有什么实际用途,不过是数学史上又一个无足轻重的脚注罢了。

  到了计算机时代,四元数终于找到了自己的位置。在三维几何旋转的计算中比矩阵更有优势,在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域都是极为重要的工具。

  150年之后,汉密尔顿爵士他们的研究终于得到了世人认可。自己种下的理论滋养了全球数以千亿计的计算机产业,爵爷若地下有知,也应该感到欣慰了。

最密堆积:3个世纪后在信道中相遇

假如在你面前放着一堆橙子,怎么摆放才能最节约空间?

  别以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。虽然任何人都可以凭经验或直觉断定,把上一层橙子交错着放到下一层橙子彼此相邻的凹处,显然要比直接一个叠一个的摆放更合理。但谁能从数学上证明,的确不存在比这更合理的方法呢?

  1611年,开普勒提出,水果商堆橙子的办法对空间的利用率最高,可他自己却没法给出证明。在400多年的时间里,“开普勒猜想”(Kepler‘s Conjecture)难倒了众多数学家。直到1940年,匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯才解决了开普勒猜想的简化版——圆环堆积问题。

  1998年,一则数学新闻突然成了各大媒体报道的焦点:美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯(Thomas C. Hales)证明了“开普勒猜想”:在箱子里堆放大小一样的球,用“面心立方体”的堆积方式(即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处)可以使空间利用率最高。也就是说,水果商在箱子里装橙子的办法一直都是最有效的。

  海尔斯解答了这个提出了400余年的难题,但水果商并不买账。一位水果摊小贩在接受电视台采访时说:“这简直是浪费时间又浪费我们纳税人的钱!”

  不过,开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不仅仅是用来装橙子这么简单——有关最密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具,是信道编码和纠错编码研究的核心内容。

  同样也是在17世纪,牛顿和大卫·格里高里因“牛顿数问题”争来争去。牛顿数,“Kissing Number”,是与一个n维球外切的等维球的个数。很容易看出,二维的牛顿数是6(上图左)。牛顿确信三维的牛顿数是12,直到1953年,科特·舒特和范·德·维尔登才给出了一个证明。

二维(左)与三维牛顿数示意图。二维牛顿数是6,三维牛顿数是12。(paulbourke.net)

  2003年,奥莱格·穆辛证明了4维的牛顿数是24。至于5维的牛顿数,目前只知道它在40到44之间。不过,我们知道8维的牛顿数是240,24维的牛顿数是196560,这两个数都是美国明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克在1979年证明的。8维和24维的牛顿数证明起来其实比三维的牛顿数简单,它们还跟超密集的球体填充问题有关:8维E8点阵和24维Leech点阵。

  这些发现令人惊奇,不过让普通人一头雾水的概念有什么实际意义?接下来听我说。

  20世纪60年代,一位叫戈登·朗的工程师正在设计调制解调器系统。他需要从一个繁忙的频道(例如一个电话线)发出一个信号,信号由一系列的音调组成。但是,由于一个频道传递的信号过多,经常出现信号无法被完整接收的情况。朗将组成信号的声音用一串数字表示,信号即可被当作一个个包含信息的“小球”,为了使发送的信息量达到最大化,这些“小球”必须被尽可能紧密的排列起来。

  20世纪70年代晚期,朗发明了采用E8堆积法传递8维信号的调制解调器。由于这项技术可以通过电话线进行信号传播,不必重新设计信号电缆,因此大大加快了互联网的发展。

概率论:从赌桌上的硬道理到保险业的发展

  文艺复兴时期,意大利出现了一位大学者,卡尔达诺(Girilamo Cardano),他精通数学、物理、占星,在当时被称作百科全书式的学者。卡尔达诺嗜赌,但赌术却并不高明,在赌桌上输掉了大把的家产。不过,他由此写下《论赌博游戏》一书。此书于1663年出版,被认为是第一部概率论专著,开创了现代概率论研究的先河,也为今天的精算学做了铺垫。

  一个世纪之后,法国赌徒梅内(Chevalier de Méré)遇到了难题。他常玩的两个游戏,一个是连续掷4次色子,看能否扔出一个6;一个是掷两个色子,连续24次,看能否扔出2个色子都是6的情况。梅内以为两者赢钱的概率相等,不过实际情况却与他想的不一样。玩第一个游戏他赢多输少,第二个游戏却是输多赢少。

  梅内向朋友,数学家帕斯卡求助,帕斯卡随后在1654年和费马在信件往来中探讨了这个问题,为概率论的发展打下了基础。1657年,荷兰人惠更斯发表了《论赌博中的计算》,这也是第一部公开发表的概率论著作。

  17世纪晚期,雅各布·伯努利发现,随机掷一次色子,每个数字出现的概率都是1/6,但连续掷6次色子并不能确保每个数字都出现。在卡尔达诺研究的基础上,他提出了伯努利实验。n重伯努利试验(也称伯努利概型)常用来讨论n次重复试验中某事件发生的次数及其概率。由于样本点不一定是等概率的,许多实际问题都可归结为这种模型。

  更重要的是,伯努利还提出了大数定律,指在一个随机事件中,随着试验次数的增加,事件发生的频率越趋近于一个稳定值。这个定律甚至促进了保险业的发展。

  过去,保险公司只敢卖出有限的保单,因为卖出的保单越多,赔付的风险看上去就越高,保险公司担心卖出过多的保单会使公司不堪重负而垮掉。直到18世纪初,保险公司才开始像现在一样大肆推销保险。这都多亏伯努利的大数定理证明:保单卖得越多,赔付的概率就越趋于稳定,风险是可控的。

 

 

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channelId 1 1 数学理论:在意想不到的地方与实际相遇 1 常听人说数学浮于实际——本来嘛,理论不同于实践,需经由依托才能应用于生活。数学研究往往先于时代,社会还没发展出合适的落脚地,很多数学理论生来就成了“遗腹子”,少人疼爱。好在她天然的严谨和逻辑,许多数学定理历经千年依然如是。然后,就在我们最最意想不到的地方与后面赶上来的生产力不期而遇,交汇处生出灿烂的数学之花。