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  唱片、齿轮、鹦鹉螺和数学家有什么共同点?答案是他们都热爱螺线。

阿基米德螺线和三等分角

  数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代,阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论,于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。(最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农,在他死后阿基米德继承了他的工作。)

  什么是阿基米德螺线呢?想象有一根可以绕着一点转动的长杆,有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是 ρ = aθ。

  阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中,电机带动转盘上的唱片匀速转动,沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理,由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没,一般的机械缝纫机中有一个凸轮,手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动,这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。

  一个很有趣的事情是,在阿基米德螺线的配合下,尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下:

1、将θ角的一边与极轴重合,顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径,O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据 ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分

  当然,只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的,所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。

渐开线和机械齿轮

  另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时,它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线,把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上,拉开绳子的一端并拉直,使绳子与圆周始终相切,绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。

  与阿基米德螺线相比,渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点,但仔细寻找还是能发现它的踪迹,例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用,机械设备用于传动的齿轮中,就活跃着渐开线的身影。早在 1694 年,法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。 1765 年,欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算,认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比,渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用,占到世界齿轮市场的 90% 以上。

渐开线齿轮

伯努利和大自然都爱对角螺线

  下面出场的是螺线家族中名气最大的——等角螺线。它的名字来源于一个著名的数学问题:试找出一条曲线,在任意点处的矢径与切线的夹角为定值。这一问题最终于 1683 年被笛卡尔解决。使用一点简单的微积分和笛卡尔的坐标系,我们很容易就能知道等角曲线的极坐标方程:ρ = e aθ 。由于在方程中出现了指数函数,这一螺线也被称为对数螺线。

  等角螺线还与一道著名的趣味物理题有关:三只小狗分别从一个等边三角形的三点出发,以相同的速度相互追逐,当它们在三角形中心相遇时,所画出的轨迹就是等角螺线。一个很少被注意的有趣现象是,他们将在有限时间内相遇,但是相遇之前已经围着中心绕了无数圈!

等角螺线

  等角螺线具有许多有趣的数学性质,著名数学家雅各布·伯努利就是等角螺线的一个狂热粉丝。他对等角螺线进行了许多研究,发现等角曲线在反演、求渐屈线、求垂足曲线、等比例放大等等变换后仍然是原先的等角曲线。对于这些性质伯努利感到十分惊讶,决定把等角曲线作为自己的墓志铭,还加上了一句话“Eadem mutata resurgo.”这句话有各种不同的翻译版本,大意是“纵然改变,仍然故我”(也有一些版本的翻译类似“改变之后,我将原地复活”)。但是滑稽的是为他雕刻墓碑的工匠也许是文化水平不高,也许就是嫌麻烦,最后给墓碑上雕刻的图竟是毫不相关的阿基米德螺线。伯努利若九泉有知,怕是要死不瞑目了。

  等角对数螺线的除了伯努利还有大自然。可能是由于它等角的特性,等角螺线是自然界中最常见的螺线。向日葵的和其他一些植物的种子在花盘上排列出的曲线就是等角曲线,这样每颗种子受到周围其他种子所分泌生长素的抑制作用可以达到最小,同时当它们长大时可以保持形状不变。蕨类植物和其他一些植物的嫩叶也蜷曲成对数曲线的形状。

向日葵的花盘,能看出等角螺线吗

对数曲线形状的嫩芽

  除了植物界,动物界也有不少等角螺线。鹦鹉螺的螺壳曲线就是等角螺线,这是由于鹦鹉螺在生长时内圈与外圈分泌石灰质的量总为一定值造成的,同理鹰嘴和鲨鱼的背鳍也是对数螺线的形状。法国博物学家,《昆虫记》作者 让-亨利 法布尔曾经注意到,蜘蛛结出的网上也有对数螺线出没,对此他兴趣大发,在《蜘蛛的一生》中增加了专门的一篇,讨论对数螺线的数学性质和它对自然界的影响。甚至“对数螺线”这个名字就是法布尔叫响的。另外人们发现,飞蛾扑火与老鹰盘旋也都是沿着对数螺线的轨迹移动。

  但是和接下来的银河系相比,以上的例子都“弱爆了”。天文学家观测发现,涡旋状星云的旋臂形状与等角螺线十分相似,银河系的四大旋臂就是倾斜度为 12° 的等角螺线。

其他的螺线

  除此之外,数学家们还找出了各种奇形怪状的非主流螺线,例如极坐标方程 r 2 = θ 描述的连锁螺线,它不是常见的一支,而是对称的两支。更为怪异的是欧拉螺线,它有两个中心,埃舍尔的一副作品就是以此为主题的。

欧拉曲线

  数学界是如此地热爱螺线,以至于衡量一个数学家是否足够牛逼的简单的方法就是看看是否存在以他命名的螺线。那死理性派又为什么对螺线情有独钟呢?这就正像法布尔总结的那样:“几何,以及面积的和谐支配着一切。”螺线背后精准优雅的规律,无疑让一代又一代的人为之痴迷。

  参考资料

  【1】马丁 加德纳,《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

  【2】 用数学注释的花园

  【3】赵文敏, 等角螺线及其他

  【4】职业农夫, 生物中的数学---是生物因为数学而有趣?还是数学因为生物而有趣?

 

 

 

 

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channelId 1 1 螺线:那些风情万种的故事 1 数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代,阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论,于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。