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  假设你是一个刀不离身的日本武士,有次你去上厕所,很不幸被一群流氓堵在里面,他们要围攻你,你想拔刀应战。但这时候请注意,你是在空间狭小的厕所里,作为一名死理性派,你不禁会想:刀能拔出来吗?拔出来能挥得过去吗?万一挥刀过程中,刀碰到墙壁或者隔板被挡住了,那岂不是太悲剧?

  拔还是不拔,这无疑是一个数学问题:长度为 1 的线段在平面上做刚体移动(转动和平移),转过 180°并回到原位置,扫过的最小面积是多少?

  实际上这也真的是一个数学问题。在 1917 年,在由日本数学家挂谷宗一提出后,过了几十年才找到最终的答案。这个问题后来也被命名为挂谷问题(Kakeya needle problem)。

正常人都能想到的方法

  不妨让我们首先来想想,怎样让线段在平面上划过180°。多数人的第一反应是让线段绕着一端旋转 180° 即半圈的情形。很显然,线段扫过的面积是 π/2 。

  当然,这是很差的一种设计。如果把定点放在线段中点,让线段绕中点旋转180°,情况就会好很多,这是线段扫过的面积为π/4。

 

 

数学家的研究

  数学家们肯定不会考虑上述这些几乎没有技术含量的东西。在挂谷宗一提出这个问题后,有数学家发现,若这个线段在正三角形(高为 1,边长为 2/√3 )中每一顶点处都旋转 60°,可以算出这种情况下,线段扫过面积为 1/√3。

 

 

  而挂谷宗一本人想到的是借助三尖内摆线。所谓内摆线,就是一个小圆在和一个固定的大圆内切地滚动时,圆上一点的轨迹:

 

 

  当小圆直径为 1/2 ,大圆直径为 3/2 时,在三尖内摆线内去任意一条长为定值 1 的切线,让此切线按在像上述的正三角形内的运动方式旋转,这时线段在旋转时始终与内摆线相切,它的两端也在内摆线上。如下图,黑点为切点,红点为线段中点:

 

 

  计算表明,这种情况下线段扫过的面积是 π/8 。挂谷本人及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。

最终的答案

  但事情还远远没结束。

  1925年美国数学家G. D.伯克霍夫特别在著作中提到挂谷问题。后来,长度为 1 的线段可在点集中转过180°,那这样的点集被称为挂谷集。这样就把挂谷问题转化为了求面积最小的挂谷集。

  1920 年前苏联数学家贝西科维奇(A.S.Besicovitch)在自己的研究领域提出一个类似的问题:是否存在一个面积(若尔当测度)为 0 的平面点集,它在每一方向上都有长度1的线度? 1928 年别西科维奇解决了自己的问题,即构造出面积任意小的平面点集(贝西科维奇集),在每一方向上都有长度 1 的线段。

  贝西科维奇用了一种构造性的证明方法。想象一个高为1的等边三角形,把它平分,再把两个直角三角形稍微叠在一起,如图。这个新图形面积比三角形小,但是在其中,属于 [-120°,-60°] 的每个角都能找出边长 ≥1 的线段。

 

 

  现在重新开始,把三角形平均分为 8 个,把它们两两叠在一起,再两两叠在一起,这种图形就叫做 Perron树。如果我们重复这个步骤,把三角形分为 16 个、32 个、……、 2 n 个,显然整个图形的面积可以越来越小,并且可以证明图形面积无限趋近于0。

  把 3 个Perron树分别旋转 0°,120°,240° 并叠在一起,可以看到,最后的图形在每个角上都有边长 ≥1 的线段,这也就是说它是一个贝西科维奇集,并且面积任意小。

  事实上,这是一个和挂谷集问题类似的问题。贝西科维奇本人将这两个问题称为孪生问题。匈牙利数学家鲍尔(Pál)曾经证明了能够把一条单位长线段连续地从一条直线移动到另一条直线,并且扫过的面积任意小。借助这个鲍尔的贡献,贝西科维奇刚才构造的贝西科维奇集化为我们想要的挂谷集,成功地解决了挂谷问题。最后的结果像这样:

 

 

  他的结论出乎绝大多数人的意料:短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。在德国数学家佩龙在 1928 年和另一位数学家舍恩伯格在 1962 年两度化简后,这个问题成为了数学中的经典例子。

  但是,这并不完美,因为如此构造出的挂谷集不是单联通的(他们得到的挂谷集有很多洞)。1965 年沃克(R. J. Walker)首先找到比挂谷本人解答的面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安(F.Cunningham)先后造出面积为 (5 - 2√2)π/24 的单连通挂谷集。这个面积被命名为 Bloom-Schoenberg number。 1971 年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集,完全解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时,他证明了如果限于星形(即图形内存在一点,连接它与图形中任一点的线段整个在图形中),则挂谷集的面积不小于 π/108。

  在此之后,挂谷问题又有了多种形式的推广,比如 1971 年戴维斯(R.O.Davies)证明了一条半径为 1 的圆弧转过,扫过的面积不能任意小。此外,将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。

  不过,回到最初那个问题上来,死理性派相信,如果哪个武士真不幸被堵在厕所里,恐怕就不是能否拨出武士刀、挥不挥得动的问题,而是他自己拔刀之前会不会已经头晕了的问题……

没想到数学家上个厕所也能搞出这么大的名堂。不过话说我当年也是在上厕所的时候,才对二次函数产生了浓厚的兴趣。

  本文转载自 Exp618:My Blog 。有改动。

 

 

 

 

 

 

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channelId 1 1 厕所里的武士刀,你挥得动吗? 1 假设你是一个刀不离身的日本武士,有次你去上厕所,很不幸被一群流氓堵在里面,他们要围攻你,你想拔刀应战。但这时候请注意,你是在空间狭小的厕所里,作为一名死理性派,你不禁会想:刀能拔出来吗?