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近日，一条关于 2012 的微博被传得很火：“科学家终于确定了：2012.12.21 地球会有连续 3 天是黑夜，是地球的换纪时刻。玛雅人说的并不是世界末日，而是" 2012 年 12 月 21 日的黑夜来临， 12 月 22 日的黎明不会到来"但 3 天后，差不多是圣诞，白天就会到来！”
对此，已有网友在果壳网谣言粉碎机小组撰文 2012真的会有连续3天地球是黑夜吗？ 辟谣。面对这样一个劣质的谣言，本没有什么好说的。但与之相关的一个有意思的问题是：是否存在 2012 年 12 月 21 日太阳落山以后持续 3 天黑夜的地点呢，这样的地方又在哪呢？
“连续3天地球是黑夜”当然是无稽之谈。但有趣的是，地球上真的存在连续 N 天是黑夜的地方——南北两极附近的区域。当太阳直射在南半球时，北半球进入冬季，北极圈内部分地区来就会在很长一段时间内不再升起太阳。就北极点而言，这个黑夜会持续半年，而对于北极圈边缘的地区来说， 2012 年 12 月 21 日也就是冬至那天，黑夜将持续整整24小时。那一天，地球上的昼夜区分如下图所示。
另一方面，真的存在某些地区，黑夜会长达“连续3天”。但即便如此， 连续 3 天的黑夜，也不会从冬至那天开始 ，而是从冬至的前一天开始，到冬至的后一天结束。换句话说，对于那些会出现 3 天极夜的地区来说，“那一夜”会从 2012 年 12 月 20 日开始。
用简化的模型算哪里持续 3 天黑夜
这样的地方到底在哪里呢？算算就知道（这里以北半球为例，南半球的情况类似）。
太阳入射光与地球赤道平面之间的角度，叫做太阳的赤纬（the declination of the Sun），记做δ☉。太阳赤纬一年中随着季节而变化，夏至时是 +23°27‘，冬至时为 -23°27‘。春分和秋分时为 0°。
由于地球绕太阳运转的轨道并不规则，要计算太阳的位置很麻烦，人们曾用一个叫“平太阳”的模型近地的模拟。地球绕平太阳以圆形的轨道匀速运动，转一圈是 365 天。 1969 年，Cooper 提出一个公式用来计算太阳赤纬角。
δ= 23.45 * sin( 2π(284+n) / 365)
式中的 n 是日数，比如 1 月 1 日就为 n = 1（对于闰年 n 的计算还要再复杂些）。这个模型最大的问题是过于简化，地球毕竟真的在绕着太阳转。一种弥补方法是，比较模型预测数据和历史测量数据，求出二者的差值，然后通过傅立叶变换进行外推拟合，以校正之后对未来的预测。
1971 年 Spencer， 1976 年 Stine， 1985 年 Bourges 都各自给出不同的公式进行拟合，下图显示了 2009 年的数据和上述几种太阳赤纬的算法结果的误差比较。
可以看到，比较准确的是Bourges的方法，他给出的计算式是：
其中 W = 360/365.2422 ；t = n - 1 - n 0 ； n 0 = 78.801 + [ 0.2422 （year – 1969）] - INT[0.25 （year-1969）]
根据上式，如果一个地方纬度是 L，当地正午时分的太阳高度角 e = L + δ ≤ 0 时，那就说明太阳的位置就一直是在地平线之下，也就是极夜。因此，找出 2012 年某地太阳落山以后连续出现 3 天不出太阳的问题可以转换成了解方程组
δ（ n ）+ L ≤ 0δ（ n + 3） + L ≤ 0
但由于我们现在只计算 3 天的极夜，这相对于一年 365 天来说是个非常小的量，很小的误差就可能对最终的结果造成很大的影响，此时用 Cooper 的简化公式并不合适，而即使是 Bourges 的公式也存在一些问题。因为太阳赤纬只考虑了太阳向地球照射的角度，但是地球上的人观察太阳的位置，特别在日出日落时分，受一个重要因素——大气折射的影响颇大。有时虽然太阳已落到地平线之下，但由于大气层的折射，仍有可能看到太阳的边缘。所以实际的纬度就应该比计算结果要略微高一点。考虑地更现实一些，其实海拔高度也是会对观测日出时间有所影响。
用网页版计算器算算看
实际上，要解决我们的问题无非就是要找出纬度与日出时间之间的关系。通过分析立体解析几何推导出相应公式的方法，忽略了很多因素，并不精确。这时候，不妨让我们请出神器 wolframalpha 来应对吧。
北极圈是北纬 67.5°以上的范围，冬至日后高于此纬度的地方一定都是极夜（不妨用 wolframalpha 来验证下：查查sunrise at 70N, 0E in dec 21,2012 可得到结果 never rises ）。
实际上，只要我们输入是"sunrise at 纬度,经度 in dec 21,2012"，就可以得到日出时间（包括 never rises）。因此找到什么地方持续 3 天黑夜的问题转变为：
sunrise at 纬度,经度 in dec 19,2012，有日出sunrise at 纬度,经度 in dec 20,2012，无日出sunrise at 纬度,经度 in dec 22,2012，无日出sunrise at 纬度,经度 in dec 23,2012，有日出我们从 北纬67.5° 开始找起，最终可以发现有 4 个日期点都是极夜。而北纬 67.4° 满足要求：
2012年12月19日，北纬 67.4°，东经 0°，日出11:512012年12月20日，北纬 67.4°，东经 0°，无日出2012年12月22日，北纬 67.4°，东经 0°，无日出2012年12月23日，北纬 67.4°，东经 0°，日出11:53再往下搜寻 0.1 个纬度呢？从北纬 67.3° 在 2012 年 12 月 23 日的日出时间是 11:36 am 来看，我们要找的范围就在北纬67.3°到北纬 67.5° 之间了。
另一方面，地球的半径是 R = 6367.5 km， 0.1 个纬度平均就是 R （ 0.1π/180 ） = 11.113km。这样的话，目标就限定在一个宽度为 22km 左右的范围内。
刚才一直使用的是东经 0 度，下面测试不同经度（只要小心国际日期变更线就可以了）。选择 180°W, 90°W, 0°E, 90°E 和 180°E 分别计算四个日期点，可以发现结果都是一样的。这就表明持续三天黑夜的地方是在一个长度为 6367.5km × cos( 67.4/180π ) = 2447km，宽度仅为 22km 的区域内。
那么这块区域包括哪些地方呢？其实在北极圈附近，还是居住了不少人的。我们最终确定的这个区域就覆盖了挪威、瑞典、芬兰、俄罗斯、美国阿拉斯加、加拿大、格陵兰的一些地方。它们确实在2012年可以享受到三天黑暗。但估计当地人民对此早已习以为常，届时并不会有太大反应。
因为不知道网页工具 wolframalpha 到底用的是什么算法，也不知道它有没有考虑大气折射之类的因素，所以这样的结果仅供参考。但是，地球上是肯定存在这样的区域的，而且应该和我们计算出的结果相差不远。有兴趣的话，明年的冬至，不妨去那里旅游顺带验证一下吧。
参考文献：
[1] Table of the Declination of the Sun: Mean Value for the Four Years of a Leap-Year Cycle
[2] 一种高精度太阳位置算法
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