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  近日,一条关于 2012 的微博被传得很火:“科学家终于确定了:2012.12.21 地球会有连续 3 天是黑夜,是地球的换纪时刻。玛雅人说的并不是世界末日,而是" 2012 年 12 月 21 日的黑夜来临, 12 月 22 日的黎明不会到来"但 3 天后,差不多是圣诞,白天就会到来!”

  对此,已有网友在果壳网谣言粉碎机小组撰文 2012真的会有连续3天地球是黑夜吗? 辟谣。面对这样一个劣质的谣言,本没有什么好说的。但与之相关的一个有意思的问题是:是否存在 2012 年 12 月 21 日太阳落山以后持续 3 天黑夜的地点呢,这样的地方又在哪呢?

  “连续3天地球是黑夜”当然是无稽之谈。但有趣的是,地球上真的存在连续 N 天是黑夜的地方——南北两极附近的区域。当太阳直射在南半球时,北半球进入冬季,北极圈内部分地区来就会在很长一段时间内不再升起太阳。就北极点而言,这个黑夜会持续半年,而对于北极圈边缘的地区来说, 2012 年 12 月 21 日也就是冬至那天,黑夜将持续整整24小时。那一天,地球上的昼夜区分如下图所示。

  另一方面,真的存在某些地区,黑夜会长达“连续3天”。但即便如此, 连续 3 天的黑夜,也不会从冬至那天开始 ,而是从冬至的前一天开始,到冬至的后一天结束。换句话说,对于那些会出现 3 天极夜的地区来说,“那一夜”会从 2012 年 12 月 20 日开始。

用简化的模型算哪里持续 3 天黑夜

  这样的地方到底在哪里呢?算算就知道(这里以北半球为例,南半球的情况类似)。

  太阳入射光与地球赤道平面之间的角度,叫做太阳的赤纬(the declination of the Sun),记做δ☉。太阳赤纬一年中随着季节而变化,夏至时是 +23°27‘,冬至时为 -23°27‘。春分和秋分时为 0°。

  由于地球绕太阳运转的轨道并不规则,要计算太阳的位置很麻烦,人们曾用一个叫“平太阳”的模型近地的模拟。地球绕平太阳以圆形的轨道匀速运动,转一圈是 365 天。 1969 年,Cooper 提出一个公式用来计算太阳赤纬角。

δ= 23.45 * sin( 2π(284+n) / 365)

  式中的 n 是日数,比如 1 月 1 日就为 n = 1(对于闰年 n 的计算还要再复杂些)。这个模型最大的问题是过于简化,地球毕竟真的在绕着太阳转。一种弥补方法是,比较模型预测数据和历史测量数据,求出二者的差值,然后通过傅立叶变换进行外推拟合,以校正之后对未来的预测。

  1971 年 Spencer, 1976 年 Stine, 1985 年 Bourges 都各自给出不同的公式进行拟合,下图显示了 2009 年的数据和上述几种太阳赤纬的算法结果的误差比较。

可以看到,比较准确的是Bourges的方法,他给出的计算式是:

  其中 W = 360/365.2422 ;t = n - 1 - n 0 ; n 0 = 78.801 + [ 0.2422 (year – 1969)] - INT[0.25 (year-1969)]

  根据上式,如果一个地方纬度是 L,当地正午时分的太阳高度角 e = L + δ ≤ 0 时,那就说明太阳的位置就一直是在地平线之下,也就是极夜。因此,找出 2012 年某地太阳落山以后连续出现 3 天不出太阳的问题可以转换成了解方程组

δ( n )+ L ≤ 0δ( n + 3) + L ≤ 0

  但由于我们现在只计算 3 天的极夜,这相对于一年 365 天来说是个非常小的量,很小的误差就可能对最终的结果造成很大的影响,此时用 Cooper 的简化公式并不合适,而即使是 Bourges 的公式也存在一些问题。因为太阳赤纬只考虑了太阳向地球照射的角度,但是地球上的人观察太阳的位置,特别在日出日落时分,受一个重要因素——大气折射的影响颇大。有时虽然太阳已落到地平线之下,但由于大气层的折射,仍有可能看到太阳的边缘。所以实际的纬度就应该比计算结果要略微高一点。考虑地更现实一些,其实海拔高度也是会对观测日出时间有所影响。

用网页版计算器算算看

  实际上,要解决我们的问题无非就是要找出纬度与日出时间之间的关系。通过分析立体解析几何推导出相应公式的方法,忽略了很多因素,并不精确。这时候,不妨让我们请出神器 wolframalpha 来应对吧。

  北极圈是北纬 67.5°以上的范围,冬至日后高于此纬度的地方一定都是极夜(不妨用 wolframalpha 来验证下:查查sunrise at 70N, 0E in dec 21,2012 可得到结果 never rises )。

  实际上,只要我们输入是"sunrise at 纬度,经度 in dec 21,2012",就可以得到日出时间(包括 never rises)。因此找到什么地方持续 3 天黑夜的问题转变为:

sunrise at 纬度,经度 in dec 19,2012,有日出sunrise at 纬度,经度 in dec 20,2012,无日出sunrise at 纬度,经度 in dec 22,2012,无日出sunrise at 纬度,经度 in dec 23,2012,有日出

  我们从 北纬67.5° 开始找起,最终可以发现有 4 个日期点都是极夜。而北纬 67.4° 满足要求:

    2012年12月19日,北纬 67.4°,东经 0°,日出11:512012年12月20日,北纬 67.4°,东经 0°,无日出2012年12月22日,北纬 67.4°,东经 0°,无日出2012年12月23日,北纬 67.4°,东经 0°,日出11:53

  再往下搜寻 0.1 个纬度呢?从北纬 67.3° 在 2012 年 12 月 23 日的日出时间是 11:36 am 来看,我们要找的范围就在北纬67.3°到北纬 67.5° 之间了。

  另一方面,地球的半径是 R = 6367.5 km, 0.1 个纬度平均就是 R ( 0.1π/180 ) = 11.113km。这样的话,目标就限定在一个宽度为 22km 左右的范围内。

  刚才一直使用的是东经 0 度,下面测试不同经度(只要小心国际日期变更线就可以了)。选择 180°W, 90°W, 0°E, 90°E 和 180°E 分别计算四个日期点,可以发现结果都是一样的。这就表明持续三天黑夜的地方是在一个长度为 6367.5km × cos( 67.4/180π ) = 2447km,宽度仅为 22km 的区域内。

  那么这块区域包括哪些地方呢?其实在北极圈附近,还是居住了不少人的。我们最终确定的这个区域就覆盖了挪威、瑞典、芬兰、俄罗斯、美国阿拉斯加、加拿大、格陵兰的一些地方。它们确实在2012年可以享受到三天黑暗。但估计当地人民对此早已习以为常,届时并不会有太大反应。

    因为不知道网页工具 wolframalpha 到底用的是什么算法,也不知道它有没有考虑大气折射之类的因素,所以这样的结果仅供参考。但是,地球上是肯定存在这样的区域的,而且应该和我们计算出的结果相差不远。有兴趣的话,明年的冬至,不妨去那里旅游顺带验证一下吧。

  参考文献:

  [1] Table of the Declination of the Sun: Mean Value for the Four Years of a Leap-Year Cycle

  [2] 一种高精度太阳位置算法

 

 

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