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  近日,连线网站评出了 9 大 Geek 不可不知(至少假装知道)的公式。但这些公式大多数人难有机会用到,所以光知道几个式子实在没什么意思。好在它们是如此强大,以至于每个都有许多精彩故事和神奇用途,比如有公式甚至能算出你有多漂亮。死理性派从中选择了几个最有意思的,讲述那些神奇的故事。或许看完你还是不会用这些公式,但至少也能说得头头是道了。

欧拉公式

  所有没有欧拉公式的公式排行榜都是不专业的,即便死理性派对欧拉公式的 介绍 已经 够多够多 了,在这里依然不敢抹去它。让我们再次看看它是怎样用三个最基础的运算,把数学中最神奇的三个常数以及最根本的两个数联系在一起的吧。

麦克斯韦方程

  如果没有麦克斯韦方程,现在我们在邮局看到的可能还是一排排的鸽笼。而至于上微博、发短信这样的事情更是想无可想。因此也有人评论说,麦克斯韦对基础自然科学的贡献仅次于牛顿和爱因斯坦。

  这个著名的方程组共有四个方程,分别是:高斯定律(描述电荷如何产生电场)、高斯磁定律(论述磁单极子不存在)、法拉第感应定律(时变磁场产生电场)和麦克斯韦—安培定律(电流和时变电场产生磁场)。

  1865 年,麦克斯韦在他的论文中首次提出麦克斯韦方程组的概念,并预言了电磁波的存在,推导出电磁波的速度与光速相同(他甚至还预言了光是电磁波的一种)。麦克斯韦方程优美的特性和简洁的表述让年轻的赫兹坚信麦克斯韦关于电磁波的预言是正确的,在麦克斯韦去世 9 年后( 1888 年),赫兹终于通过实验证实了电磁波的存在。他在实验中甚至观测到光电效应,但只是记录下了这一现象,并未深入研究。 1895 年,意大利人马可尼发明了无线电报并将其商用,书面信息终于可以不依靠(传统意义上的)物质载体而存在,并能够以光速瞬时传遍全球。

  根据方程组第二个方程,即高斯磁定律,物理学家们推断出磁单极子是不存在的。我们知道,磁铁都有 N 和 S 两极,如果将磁铁从中间截断,两块新磁铁也各有两极。那么存在只有一极的物质吗?在弦理论中,将这样的基本粒子称为磁单极子,狄拉克在 1931 年首次预测了磁单极子存在的条件,大统一理论也需要磁单极子的存在作为基础。遗憾的是,直到目前为止并没有证明磁单极子存在的直接证据。在《生活大爆炸》第二季中,谢耳朵和他的朋友们前往北极就是为了寻找磁单极子存在的证据。如果磁单极子真的存在的话,那么麦克斯韦方程组的第二个和第三个方程都要相应地修正。

地球磁极,图片来源:blogspot.com

薛定谔方程

  1900 年,物理学界一片歌舞升平,开尔文男爵在一场讲演中说,物理学将不会再有任何发现,剩下的只是精益求精的测量。但他同时也指出,在物理学的晴空中还飘着两朵小乌云——以太风的观测失败(后来证明以太事实上不存在)和黑体辐射公式的紫外灾难。但正是这两朵小乌云,彻底颠覆了传统物理学,并催生出 20 世纪物理学的两个最重要的主题——相对论和量子力学。而维也纳物理学家薛定谔提出的薛定谔方程则是量子力学领域的基础性理论之一:

  其中 Ψ 是波函数,而|Ψ|^2就表示一个粒子在空间 x 和时间 t 出现的概率,这在经典物理中是不可想象的,一个粒子在要么在这里要么在那里,怎么会以概率的方式出现?就连薛定谔本人在提出这个方程时也对 Ψ 的含义也不甚了了, 1927 年波尔和海森堡提出了哥本哈根诠释(注意,这只是一个“诠释”),认为 Ψ 表示波函数,并引入概率的概念,成功地解释了薛定谔方程。但薛定谔始终也无法接受这样的解释,他用思想实验“薛定谔的猫”来归谬:一只猫怎么可能随时死去活来?而爱因斯坦对哥本哈根诠释的评价更直接:“上帝不掷骰子!”

  要说的是,薛定谔提出该方程时已经将近 40 岁,也算是大器晚成的科学家。根据 野史 的说法,法国“官二代”德布洛意玩票去读了物理博士,临近毕业时毫无建树,听说爱因斯坦和普朗克弄出了一个叫做“光的波粒二象性”的时髦说法,一拍脑门写了一篇只有 1 页多的博士论文,称任何物质都有波粒二象性。但学术委员会也不是吃素的,这样的论文怎能通过教授们的法眼?但德布洛意的导师郎之万将这篇论文寄给了爱因斯坦,爱因斯坦客气地回信说此想法很有新意云云,这让德布洛意顺利过关。按照惯例,这篇论文被寄送到欧洲各个大学,在苏黎世大学,学霸德拜将这篇论文交给默默无闻的薛定谔讲师,让他在两周之后的讨论班给大家讲讲。薛定谔看得云里雾里自然也讲得一塌糊涂,德拜听后不甚满意,却没有直接批评薛定谔,随口说到,既然物质都是波,那总要有个波动方程吧?薛定谔灵光一现,就写出了震惊学界的薛定谔方程。

参加第五届索尔维会议的物理学家合影,点 这里 查看高清大图

  上面的话虽有玩笑成分,但也并非都是戏说。实际上,德布洛意的确是个“官二代”,他提出了德布洛意波的概念,因此受到爱因斯坦的赞赏,薛定谔也正是受这篇论文的启发提出薛定谔方程。但其他都是小说家的演绎。德布洛意在读期间至少发表了 5 篇论文,他的博士论文长达 100 多页,有兴趣研究的同学可以在这里 阅读到 。

基本传染数 R0

  除了晦涩的物理方程,下面要介绍的两个内容就没有那么抽象了,基本传染数 R0 就是其中之一。

  在传染病学中,假设一个种群是封闭的(没有迁入和迁出的个体),并且没有免疫力,那么某个个体感染疾病后,他能传染的平均个体数就被称作基本传染数 R0 。

  一般来说,如果 R0 < 1,传染病就会逐渐消失,这也符合直观的想象。但如果 R0 > 1,那传染病就会以指数的方式爆发(由于患病的个体可能会死亡,加之种群数有限,所以最终的传播速度会显著下降)。

  确定 R0 的数值对于传染病防疫决策有着重要的作用,例如香港中文大学的研究显示,2003 年爆发的 SARS 的 R0 指数在强力的防控措施下大约是 0.85,在没有控制的情况下为 2 ~ 3,可见有效的防控措施对于控制疫情发展有着重要的作用。根据 维基百科 的资料,常见的传染病的 R0 指数为:

另外,在人口学中, R0 有时也被解释为一个个体平均繁衍的后代的个数。

  但由于多方面的原因, R0 一般很难直接由观测得到。所以一个常见的方法是建立传染病的微分方程模型,利用数学推导的方法得到 R0 的数值。但这种方法也有一定的缺陷,主要是因为数学模型本身就是一个简化模型,特别是当存在交叉感染时,即便是定性的微分方程分析也相当具有挑战性。而且有时利用数学模型得到的 R0 尽管可以预测传染病是否能够爆发,但与传统意义上的平均传染数仍然不同。关于如何利用数学模型来研究实验中不易测量的参数也是目前交叉科学的热门课题之一,这里就不详述了。

  回到传染病学的概念,那么在 R0 = 1 时,疾病会不会爆发呢?一般来说我们不关心这样的情况,因为往往这个状态都是不稳定的,只要有微小的扰动就能变成一个确定的不等式。如果非要刨根问底,或许只有薛定谔的猫(如果它还活着的话)才能回答这个问题了……

计算你有多漂亮的公式

  尽管将一切都量化听起来十分美妙,但将人类的审美完全量化听起来仍然像天方夜谭。退一步讲,即使有了将审美量化的方法,仍然无法保证这样的“美”是每个人都能欣赏的。

  最近以色列的研究人员提出了 一种算法 来研究“最具吸引力的脸庞”。这个算法利用计算机分析经过预先打分的人类面部图像。计算机学习这些数据后,就能够为新的面部图像进行吸引力评分。

  他们的理论基础是,近年来的研究显示,人类面部的吸引力是超越种族、国家和文化的,因此应当存在普适性的(面部)审美标准。研究人员利用下面的公式进行回归分析:

  其中 y 是某个图像的分数, y i 是临近的图像,而 w i 则是对应的权重。经过实测,利用该算法为面部图像打分的结果与人类打分的结果最高有 0.65 的相关性。尽管这一数字还不够理想,但仍然提供了一个新的研究方向。

各个分数段的标准长相,图片来源:wired.com

  如果有朝一日真的能将审美量化的话,由此导致的千篇一律的人造美女会不会带来审美疲劳?当真如此的话,这个算法是否应当还需要考虑减去审美疲劳带来的负面作用呢?

参考资料: 9 Equations True Geeks Should (at Least Pretend to) Know

  

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channelId 1 1 如何假装知道这些公式? 1 近日,连线网站评出了 9 大 Geek 不可不知(至少假装知道)的公式。但这些公式大多数人难有机会用到,所以光知道几个式子实在没什么意思。好在它们是如此强大,以至于每个都有许多精彩故事和神奇用途,比如有公式甚至能算出你有多漂亮。